Evidencias

DEBER 1

Deber 2

Corrección de la prueba 1

Deber 3

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Corrección de la prueba 2

Deber 5

Deber 6

Taller 1

Taller 2

Deber 7

Deber 8

Febrero

Ecuación en derivadas parciales

Flexión elástica de una placa circular empotrada en su contorno bajo la acción de una carga vertical distribuida uniformemente, que es solución de laecuación de Lagrange de placas, la solución mostrada fue obtenida numéricamente medianteAnsys.

Variación del perfil de temperaturas solución de laecuación del calor en un problema bidimensional.

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es aquella cuyas incógnitas son funciones de diversas variables, con la peculiaridad de que en dicha ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables.1 O bien una ecuación que involucre unafunción matemática de varias variables independientes y las derivadas parciales de respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones diferenciales parciales. Participaron, al inicio, en su estudio los franceses D'alambert, Fourier, matemáticos de la época napoleónica.

Introducción

Una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) para la función tiene la siguiente forma:

donde es una función lineal de y sus derivadas si:

Si es una función lineal de y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace. Una ecuación diferencial en derivadas parciales simple puede ser:

donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:

donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

que tiene la siguiente solución

Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de tal forma que se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función puede determinarse si se especifica sobre la línea .

Notación y ejemplos[editar]

En las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:

Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto () para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como (notación matemática) (notación física)

Solución general y solución completa

Toda ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas, que frecuentemente pueden obtenerse por el método de separación de variables.

Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en la ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

Existencia y unicidad

Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP, que es analítica en la función incógnita y sus derivadas, tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, aparecen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución.2 Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables.

Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parámetro n para la ecuación de Laplace:

con condiciones iniciales

Donde n es un entero. La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero la solución es:

Esta solución se aproxima a infinito si nx no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de y. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal propuesto o mal definido, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas.

Clasificación de las EDP de segundo orden

Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:

EcuaciónNombreTipo

Laplace Elíptica

Onda Hiperbólica

Difusión Parabólicas

Helmholtz Elíptica

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:

(*)

Con estos coeficientes se monta la siguiente matriz:

En función del determinante la ecuación (*):

se dice que es elíptica si la matriz Z tiene un determinante mayor a 0.

se dice que es parabólica si la matriz Z tiene un determinante igual a 0.

se dice que es hiperbólica si la matriz Z tiene un determinante menor a 0.

Nombres de objetos de la geometría analítica y se llaman cónicas.

EDP de orden superior

Si bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenómenos físicos; otra cantidad menor de procesos físicos hallan solución en EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:

Flexión mecánica de una placa elástica:

Vibración flexional de una viga:

Ecuación de Korteweg-de Vries, que tiene soluciones de tipo solitón,

Véase también[editar]

Ecuación hiperbólica en derivadas parciales

Ecuación parabólica en derivadas parciales

Ecuación elíptica en derivadas parciales

Diferencia finita

Referencias

Volver arriba↑ Mijáilov: "Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales", Editorial Mir, Moscú

Volver arriba↑ Lewy, 1957.

Bibliografía

José Ignacio Aranda Iriarte (2008). Apuntes de ecuaciones diferenciales II (EDPs). Universidad Complutense de Madrid.

Ireneo Peral, Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales. Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid.

R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Wiley-Interscience, New York, 1962.

L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2

J. Jost, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2002.

Enero

SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES ESPECIALES




Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba laecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes,señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:




Función impulso unitario

Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circutitos eléctricos) de gran magnitud, que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga elétrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función 

impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.






















Definición [Impulso unitario]



La función dada por







La función escalón unitario es una función matemática que tiene como característica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matemáticamente seria de la forma:




Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo.




Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función que define la variable en el tiempo, como se muestra a continuación




Series de Fourier de cosenos y de senos

Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en





.

En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),

, n=0,1,2,...,

Resumen de las constantes de la series de Fourier
La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos



en que



b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos



en donde

Serie de Fourier en forma compleja







Cálculo de Cn:





Bibliografía. función impulso unitario, en linea, 2011, recuperado el 15 de enero de  https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node9.html