Diciembre

Funciones Periódicas y Ortogonales





DEFINICIÓN


Se dice que una función f: R R es periódica, si existe un número positivo “T” tal que:


f(t+T)=f(t) (1)

Para todo valor de t, la constante mínima T recibe el nombre de periodo de la función.



-De (1) se deduce que, si n es un número entero cualquiera


f(t) = f(t+nT)


Cualquier múltiplo entero nT (n≠0) de T también es un período. Dicho de otra forma, si T es un periodo de f, también lo es nT para cualquier n € Z.


-Una constante es una función periódica de período T, para cualquier valor de T.


-Las funciones sen (x) y cos (x) tienen periodo 2


-Las funciones sen (2x) y cos (2x) son periódicas pero su periodo fundamental es .


-En general las funciones del tipo:


f (t)= sen (nwt+ ∅).cos⁡ ( nwt+ ∅)

Son periódicas con periodo fundamental T= 2π/w



-Si f(t) y g (t) son periódicas con periodo T, entonces la función


h(t)=a f(t)+ b g(t) (a, b constantes)


También es periódica con periodo T.


-Si f (t) y g (t) son periódicas con periodo T, entonces f(t). g(t) también es periódica con periodo T. En efecto:


f(t+T)=f(t) ˄ g (t+T)=g(t) ∀ t ∈R


(f. g)(t+T)=f (t+T). g (t+T)=f(t). g(t)=(f.g)(t)

∴(f.g)(t+T)=(f.g)(t), ∀ t ∈R






Conjuntos Ortogonales

Un conjunto de funciones de valor real es ortogonal en un intervalo [a, b] si



EJEMPLO 1 Funciones ortogonales Las funciones ƒ1 (x) = x2 y ƒ2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [ 1, 1] porque

Un conjunto de funciones {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.(n ¹ m).


Se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a,b].

Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que .

se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a,b]. Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que . Se quiere obtener una fórmula para los coeficientes Cn en términos de f(x) y de las funciones ortogonales f n(x). Se selecciona un miembro del conjunto ortogonal, digamos, f n(x), y tome el producto interno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de por f n(x), y se integra sobre el intervalo para obtener suponga que la integración y la suma se puede intercambiar para dar . Pero f , forma un conjunto ortogonal, de manera que (f n, f m) = 0 si n ¹ m. Entonces se convierte en Teorema fundamental de una función por una serie de funciones ortogonales. Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que donde {f n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b]. Entonces Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones técnicas que están más allá del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se refieren a la convergencia de y a la demostración de que la suma y la integral se pueden intercambiar. Además cuando se escribe , de hecho, no se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las condiciones suficientes para garantizar el intercambio de Fourier del seno y del coseno, también se analizan en qué sentido es igual a f(x). Sólo se necesita la continuidad por las partes de f y las f n para este teorema.

Ejemplo 2: Sea T un subconjunto de Rʒ

T={(1,0,0);(0,2,0);(0,0,-1)}.

Primeramente T es un sub espacio vectorial de Rʒ Sus elementos o vectores son distintos Al realizar su respectivo producto punto entre ellos nos da 0 esto se puede evidenciar claramente porque son vectores perpendiculares. Por lo tanto T es un conjunto ortogonal.

Todo conjunto ortogonal es linealmente independiente porque si:

{ u1, u2, u3, …, un} ortogonal

{ α1u1, α2u2, … αnun} ortogonal

Siendo α un escalar

Al mutiplicar por cualquier escalar el conjunto sigue siendo ortogonal

Norma de una función

Dada la función su norma se define

El número

se llama norma cuadrada de

Conjunto ortonormal

Si es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] y tiene la propiedad que para , se dice que es un conjunto ortonormal en el intervalo.

Ejemplo #1

Demuestre que el Conjunto es ortogonal en el intervalo de [-π,π].

1.- Tenemos que hacer pero eso nos llevaría demasiado tiempo y nunca lo terminaríamos ya que se va hasta ∞, nos damos cuenta que podemos escribir donde

entonces podemos decir

eso el lo mismo que

Sabemos que el no importando el valor que pueda tener n

podemos concluir con

2.- Tenemos que hacer cuando donde n≠m vale menciona que no nos interesa cuando n=m porque eso sería la norma

por una identidad trigonométrica podemos escribirlo como

como ya sabemos el entonces en todo los senos se hacen cero por lo cual tenemos entonces podemos concluir con

ya que probamos para todos podemos decir que el conjunto {1,cosx,cos2x,cos3x,...} es Ortogonal.

BIBLIOGRAFÍA

Funciones ortogonales, en linea. 2014, recuperado el 11 de diciembre de http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_ortogonales_y_conjuntos_ortogonales