Enero

SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES ESPECIALES




Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba laecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes,señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:




Función impulso unitario

Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circutitos eléctricos) de gran magnitud, que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga elétrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función 

impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.






















Definición [Impulso unitario]



La función dada por







La función escalón unitario es una función matemática que tiene como característica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matemáticamente seria de la forma:




Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo.




Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función que define la variable en el tiempo, como se muestra a continuación




Series de Fourier de cosenos y de senos

Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en





.

En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),

, n=0,1,2,...,

Resumen de las constantes de la series de Fourier
La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos



en que



b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos



en donde

Serie de Fourier en forma compleja







Cálculo de Cn:





Bibliografía. función impulso unitario, en linea, 2011, recuperado el 15 de enero de  https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node9.html