Octubre

En esta primera semana hemos estudiado los números complejos, su introducción, y algunas propiedades

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario . Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

Fuente:Numero complejo. (2015), en linea, recuperado el 17 de octubre de https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

En la segunda semana ya realizamos ejercicios de simplificación de nivel muy básico, lo cual resolvimos sin ningún problema, aprendimos un par de identidades trigonométricas que nos servirán para ejercicios posteriores. ahora ya conocemos acerca de las propiedades de un conjugado y del modulo de un complejo.

La suma, resta, multiplicación fue uno de los temas q desarrollamos en estas clases, con sus respectivas propiedades conjuntamente con las raíces de un numero complejo. 

Parte real y parte imaginaria de un número complejo

Dado el complejo z = a + b.i, el número a recibe el nombre de parte real de z y b se llama parte imaginaria de z. Se representan por Re(z) e Im(z) respectivamente.

Si un número complejo tiene una de sus partes (real o imaginaria) igual a cero, ésta no suele escribirse. Así, se escribirá a en lugar de a + 0.i y también b.i en lugar de escribir 0 + b.i.

Se puede considerar que los números reales son los números complejos cuya parte imaginaria es 0. Los números complejos cuya parte real es 0 suelen recibir el nombre de imaginarios puros.

Suma y producto de números complejos

Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se definen su suma y su producto como sigue:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real y teniendo en cuenta que i² = -1.

(a + bi)(c + di) = ac + a.d.i + b.c.i + b.d.i² = ac + i(ad + bc) + bd.(-1) = ac - bd + i (ad + bc)

Propiedades de la suma de números complejos

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· Conmutativa

Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se tiene la igualdad:

(a + b.i) + (c + d.i) = (c + d.i) + (a + b.i)

Ejemplo:

(2 - 3 i) + (-3 + i) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2 i

(-3 + i) + (2 - 3 i) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2 i

· Asociativa

Dados tres complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i , se cumple:

[(a + b.i) + (c + d.i)] + (e + f.i) = (a + b.i) + [(c + d.i) + (e + f.i)]

Ejemplo:

(5 + 2 i) + (3 - 4 i)] + (-9 + 8 i) = (8 - 2 i) + (-9 + 8 i) = -1 + 6 i

(5 + 2 i) + [(3 - 4 i) + (-9 + 8 i)] = (5 + 2 i) + (-6 + 4 i) = -1 + 6 i

· Elemento neutro

El elemento neutro es 0 + 0 i ,puesto que

(a + b.i) + (0 + 0 i) = (a + 0) + i (b + 0) = a + b.i

El número 0 + 0 i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

· Elemento simétrico

El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + b.i es (- a - b.i):

(a + b.i) + (-a - b.i) = 0 + 0 i= 0

Ejemplo:

El simétrico de 2 - 3 i es -2 + 3.i pues (2 - 3 i) + (-2 + 3 i) = 0

Propiedades del producto de complejos

· Conmutativa

Dados dos complejos a + b.i y c + d.i , se cumple que:

(a + b.i).(c + d.i) = (c + d.i) (a + b.i)

Ejemplo:

(7 - i).(5 + 2.i) = 35 + 14.i - 5.i -2.i² = 35 + 9.i - 2.(-1) = 37 + 9.i

(5 + 2.i).(7 - i) = 35 - 5.i + 14.i -2.i² = 35 + 9.i - 2.(-1) = 37 + 9.i

· Asociativa

Dados los complejos a + bi, c + d.i y e + f.i se cumple que:

[(a + b.i) (c + d.i)](e + f.i) = (a + b.i) [(c + d.i) (e + f.i)]

Ejemplo:

[(2 - 3.i).(5 + i)].(4 - 7.i) = (10 + 2.i - 15.i - 3.i²).(4 - 7.i) = (13 - 13.i).(4 - 7.i) = 52 - 91.i - 52.i + 91.i² =

= - 39 - 143.i

(2 - 3.i).[(5 + i).(4 - 7.i)] = (2 - 3.i).(20 - 35.i + 4.i - 7.i²) = (2 - 3.i).(27 - 31.i) = 54 - 62.i - 81.i + 93.i² =

· Elemento neutro

El elemento neutro del producto es 1 + 0 · i = 1, puesto que para cualquier complejo

a + b.i , (a + b.i) (1 + 0. i) = (a + b.i).1 = a + b.i.

El elemento neutro es el uno.

· Distributiva del producto con respecto a la suma

Dados tres números complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i, se cumple:

(a + b.i).[(c + d.i) + (e + f.i)] = (a + b.i) (c + d.i) + (a + b.i).(e + f.i)

Ejemplo:

(1 - 2 i) [3 i + (2 - 7 i)] = (1 - 2 i) (2 - 4 i) = 2 - 4 i - 4 i + 8 i² = -6 - 8 i

(1 - 2 i) 3 i + (1 - 2 i) (2 - 7 i) = (3 i - 6 i²) + (2 - 7 i - 4 i + 14 i²) = (3 i + 6) + (-12 - 11 i) = - 6 - 8 i

El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.

El conjunto de los números complejos se simboliza por C,o también (C, +, ·).

· Elemento simétrico respecto del producto

Dado un complejo cualquiera a + b.i , distinto de 0 + 0 i , existe otro complejo que, multiplicado por él,da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0 i.

Demostración:

Se intentará calcular el inverso de a + b.i , x + y.i.

Ha de verificarse que (a + b.i) (x + y.i) = 1 + 0 i

(a + b.i).(x + y.i) = (ax - by) + (ay + bx) i . Por tanto ha de ser:

ax - by = 1, multiplicando por a se tiene: a² x - aby = a

bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b² x + aby = 0

Sumando (a² + b²).x = a ⇒ x = a/(a² + b²)

Despejando y en la segunda ecuación:

El inverso de un número complejo z = a + b.i , se suele denotar por 1/z ó z-1.

Por tanto, si z = a + b.i ,

1/z = a/(a² + b²) - b.i/(a² + b²)

El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y el producto definidos.

División de números complejos

La división es la operación inversa de la multiplicación. Esto es, dividir un número complejo entre otro es el resultado de multiplicar el primero por el inverso del segundo.

Ejercicios de aplicación:

1) Dividir z/w, siendo z = 3 + 5.i y w = 1 - i.

Resolución:

1/w = 1/[1² + (-1)²] - (-1.i)/[1² + (-1)²] = 1/2 + i/2

z/w = z.(1/w) = (3 + 5.i) .(1/2 + i/2) = 3/2 + 3.i/2 + 5.i/2 + 5.i²/2 = 3/2 - 5/2 + 8.i/2 = -1 + 4.i

2) Efectuar la operación [(5 - 3.i).(1 + i)/(1 - i) + 3.i]

Resolución:

1/(1 + 2.i) = 1/(1² + 2²) - 2.i/(1² + 2²) = 1/5 - 2.i/5

(8 + 2.i)/(1 + 2.i) = (8 + 2.i)(1/5 - 2.i/5) = 8/5 + 16.i/5 + 2.i/5 - 4.i²/5 = 8/5 - 14.i/5 + 4/5 = 12/5 - 12.i/5

Raíces cuadradas de un número complejo

Además del método general que se verá más adelante para calcular raíces cualesquiera de un número complejo argumental, existe un procedimiento para hallar específicamente las raíces cuadradas de un complejo en su forma binómica.

El procedimiento es idéntico en todos los casos, por lo que bastará con aplicarlo una vez.

Se va a intentar hallar las raíces cuadradas del complejo 7 + 24 i.

Sea a + b.i una de dichas raíces cuadradas. Entonces:

7 + 24 i = (a + b.i)² = a² + 2 a.b.i + (b.i)² = (a² - b²) + 2 a.b.i

Para que estos complejos sean iguales, han de tener iguales su parte real y su parte imaginaria. Por tanto:

7 = a² - b²

24 = 2.a.b ⇒ a.b = 12 ⇒ b = 12/a

Sustituyendo en la primer ecuación: a² - (12/a)² = 7

a² - 144/a² = 7 ⇒ a4 - 144 = 7.a²⇒ a4 - 7.a² - 144 = 0

que es una ecuación bicuadrada.

Haciendo el cambio t = a² resulta la ecuación t² - 7 t - 144 = 0.

Esta ecuación tiene dos soluciones, una positiva y una negativa. En este caso sólo nos interesa la positiva, ya que t es el cuadrado de un número real.

Así, a² = t = 16, lo que da lugar a las soluciones a = ±4

Se tienen pues dos soluciones:

a = 4 ⇒ b = 12/4 = 3

a = - 4 ⇒ b = 12/(- 4) = - 3

Las raíces cuadradas de 7 + 24.i son:

4 + 3.i y -4 - 3.i:

√7 + 24.i = ±(4 + 3.i)

Fuente; Numeros complejos, (2015), (en linea), recuperado el 17 de octubre de 2013 de: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_complejos/ap03_numeros_complejos.php

Lugares geométricos.

Distancia, rectas, circunferencias fueron temas cortos con ejercicios sencillos tuvimos una tarea en la que debíamos graficar una elipse hipérbola y una recta.